Ενοποιημένη θεωρία Δυναμικού & εφαρμγές

Εξισώσεις (ρευστών & βαρύτητας Q = m, ηλεκτρομαγνητισμού)

Όπως και στον ηλεκτρισμό ισχύει και στα ρευστά ο νόμος του Kirchhof για αντιστάσεις σε σειρά (Σ U = 0, I = σταθερή), ή σε παράλληλη σύνδεση (Σ Ι = 0, με Ρ, U = σταθερά), που δεν αποτελεί παρά μόνο μια άλλη έκφραση του θερμοδυναμικού ισοζυγίου Σm U – PV = 0.

W = PV = Q U = Q g r = Q u²              δυναμική Ενέργεια {Nm}

P = W / V = ρ U = ρ u²                          Πίεση ή (ογκομετρική) ενεργειακή πυκνότητα {Νm/m³= N/m²}

u = (P/ρ)^1/2                                             Δυναμική ταχύτητα {m/s}

U = E/Q                                                  αρχή διατήρησης Δυναμικού {m²/sec² , ή Volt}

I = L / U = Q / t = ρ A u                           Ένταση ροής - Παροχή {Kg/sec, ή A)

L = U I = RI² = ρ Α u³                                       Ισχύ ροής {W}

F = W/r = Qg = P A = u I = uQ/t            Δύναμη {N},

U = u² = R I,    R = u / ρ.Α                     R**, Αντίσταση ροής         {Ω}*

C = Q / U = I t / U = t / R                        Χωρητικότητα {F}*

U = g r = P / ρ                                        Δυναμικό {V}*

P/r = g ρ                                                 αρχή ορμής

U = ω² r² = g r, -g = ω² r = ω x u         επαγωγική επιτάχυνση

F = Q (ω x u)                                         Δύναμη Coriolis, Lorentz

U = (ω x u) r                                          επαγωγική Τάση (r = μήκος επαφής ροών)

ΔU = c_j ΔΤ                                            θερμική Τάση

U = R_sT                                                 θερμικό Δυναμικό

R_s= P /ρ Τ = c_p – c_v    (c_p = 3,5 R_s à c_v = 2,5 R_s)     ειδική σταθερά αερίων

*Για Ampere → Kg/sec, Volt = (m/sec)², g {V/m}, VA = w = Nm/s, Tesla = 1/s (ω)

Η ιξώδης Αντίσταση (και οι κινήσεις πλανητών) μπορεί να υπολογιστεί με εξίσωση της δυναμικής ενέργειας και ελατηρίου σε

R = U/I = ω⁴ r² t / D, με σταθερά ελατηρίου D = m ω²

έργο E = Dr² = m ω² r² = m U, με I = m/t = D / ω² t

και δύναμη F = D r = η A du/dr

όπου: η ιξώδες, ωt γωνιακή μεταβολή της επαγωγικής Τάσης, r οριακό πάχος ροής (για Spin (περιδίνηση) = 0, u =ωr, η = ρ ω r² ) και στην περίπτωση ημιτονοειδούς μεταβολής: 

r(t) = r_max cos ωt = r_max cos (ut / r_max)

Η σταθερά ελατηρίου που πλανητών  D = ω⁴ r³ / G = m ω²

(m, ω του πλανήτη, U = r² ω² του αστεριού, ω και για συχνότητα σεισμών).

1. Αντίσταση μορφής ακροφυσίου – Diffuser   (γωνία μεταβολής <10^ο) 

Αντιστάσεις σε σειρά, Δυναμικό εισαγωγής, τάση μορφής, δυναμικό εξαγωγής.

Σ U = 0 à                  U_import + U_F + U_export = 0, (U άνυσμα)

I = Q/t = constant à               A₁ u₁ = A₂ u_2,   u₂ = u₁ A₁ / A_2,

Η Τάση μορφής (μεταβολή επιφάνειας ροής) U_F = u₁² - u₂² είναι αρνητική στο ακροφύσιο, θετική στο Diffuser, ενώ η Αντίσταση μορφής R_F προκύπτει από τη διαφορά της αντίστασης R₁ με επιφάνεια A₁ μείον την αντίσταση R₂ με επιφάνεια A₂ σε (για ρ = constant)

R_F = R₁ - R₂ = (u₁ / ρ A₁) - (u₂ / ρ A₂) = γ u₁ / ρ A_1,    

γ = 1 - [A₁ / A₂] ²

Η Τάση μορφής διατηρείται στο σύστημα και μπορεί να αξιοποιηθεί σε συστήματα πρόωσης π.χ. κοινή Αεροτομή, ή ακροφύσιο (Laval).

Για υπερηχητικές ταχύτητες πρέπει να ληφθεί υπόψη η μεταβολή της πυκνότητας, της θερμοκρασίας (θερμική Τάση) και του περιβάλλοντος εξόδου της ροής (π.χ. μεταβαλλόμενοι Diffuser).

2. Υδροηλεκτρικός σταθμός

Νερό με Παροχή I = 10³ Kg/sec κινεί μια Τουρμπίνα (L_T Ισχύς στον άξονα Τουρμπίνας). Η διάμετρος εισαγωγής και εξαγωγής της σωλήνας νερού είναι ίδιες. Η πίεση στην εισαγωγή είναι P₁ = 500 KPa, στην εξαγωγή P₅ = 123 KPa και η υψομετρική τους διαφορά ανέρχεται σε r=10,5 m. Οι απώλειες λόγω τριβής ανέρχονται σε L_r = 80 KJ/sec. Πυκνότητα νερού ρ =1000 Kg/m³, θερμικός συντελεστής νερού c = L_r / Ι.ΔΤ = 4,18 KJ / Kg K, ένταση πεδίου βαρύτητας Γης g = 9,81V/m.

Ζητούνται: ισχύς στον άξονα L_T, μεταβολή θερμοκρασίας ΔΤ, βαθμός απόδοσης η, Χωρητικότητα C, διάμετρος αγωγού d.

Λύση: ΣU = 0 (σύνδεση σε σειρά), πυκνότητα ρ και παροχή I = σταθερή

1. Δυναμικό εισαγωγής (+), 2. υψομετρικό δυναμικό (+), 3. Δυναμικό τριβής (-), 4. Δυναμικό Τουρμπίνας (-), 5. Δυναμικό εξαγωγής (-)

U₁ = P₁ / ρ,      U₂ = g  r ,    U₃ = L_r / I = cΔT,     U₄ = L_T / I ,    U₅ = P₅ / ρ

U₄ = U₁ + U₂ - U₃ – U₅ = 400V

ΔΤ = U₃ / c = 0,019 Κ,             L_T = U₄ Ι = 400Kw,      η = L_T / Ι ( U₁ + U₂ ) = 66,3 %,

Χωρητικότητα C [Κg/V] = t.10³ Kg χρόνος, στα 603 V (min. για t =10 έτη, διαφορετικά δεν αποσβένεται η επένδυση!), εσωτερική αντίσταση R_ι = U₃ / I

P₁ = ρ u₁²à Δυναμική ταχύτητα u₁ = 22,36m/sec και Διάμετρος αγωγού από

(Α₁= πd²/4), I = ρΑ₁u₁ à  d = 0,2386m

Το παράδειγμα αποσαφηνίζει τη σχέση Δυναμικού / Παροχής, το ρόλο της δυναμικής ταχύτητας (u₅ = 11,09 m/sec) καθώς και το ρόλο της επιφάνειας του αγωγού ως απαραίτητη αντίσταση (ανάλογης μιας ωμικής στον ηλεκτρισμό).

Στην έξοδο (εάν είναι η πίεση περιβάλλοντος = 101,325 ΚPa) θα μπορούσε η δυναμική ταχύτητα να μειωθεί μέχρι 10,07 m/sec, που αντιστοιχούν σε 21,7 Kw επιπλέον ισχύ τουρμπίνας με αντίστοιχη μείωση της εσωτερικής αντίστασης.

Η κινητική ενέργεια (μεταβατική ταχύτητα) αδυνατεί να εκφράσει οποιοδήποτε μέγεθος σε οποιοδήποτε σημείο. Η μεταβατική - μέση ταχύτητα ροής - είναι και στην έξοδο του αγωγού 22,36m/sec.

Προσπάθεια υπολογισμού ορίων πυκνότητας μάζας

Υποθέσεις:

1. η ελάχιστη δυνατή πίεση ισούται με το μέτρο της σταθεράς της βαρύτητας G
2. το κοσμικό Δυναμικό σφαίρας είναι στη μέγιστη τιμή του U = c²/2

Επειδή το Δυναμικό (στα όρια του συστήματος) διατηρείται, από την ελάχιστη πίεση προκύπτει η ελάχιστη δυνατή πυκνότητα ίση με:

ρ_min = P/U = 2G / c²

και από την (8) προκύπτει η μέγιστη ακτίνα σε:

r_mαχ = (3/π)^1/2c² /4G 

δηλαδή η συνολική μάζα:

Σm = (3/π)^1/2c⁴/8G² = 2,222 10⁵⁵ Kg.

Σε αυτή την περίπτωση (δεν απαιτείται σκοτεινή ενέργεια) η μεγαλύτερη ποσότητα ενέργειας είναι στη μορφή χώρου E = PV και όχι αστεριών.

3. στη μέγιστη δυνατή πυκνότητα η μάζα περιστρέφεται με τη μέγιστη δυνατή γωνιακή ταχύτητα ω  = 2π, έτσι ώστε να μη μπορεί να προστεθεί άλλη μάζα μια και το δυναμικό βρίσκεται στο  μέγιστο όριο U= c² /2 (στην επιφάνεια της σφαίρας η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ίση με τη  φυγόκεντρο επιτάχυνση).

Στη μέγιστη συμπύκνωση από την εξίσωση u = ω r = 2π r, προκύπτει μέγιστη πυκνότητα

ρ_max = 3π/G

η ελάχιστη ακτίνα σε 

r_min = c/π 8^1/2

όμως η μάζα που προκύπτει για μέγιστο δυναμικό είναι ίση με:

m = c³ /2πG 8^1/2 = 2, 28 10³⁴

που αντιστοιχεί σε χώρο                     V_m = c⁵ /4πG² 8^1/2 

πυκνότητας                                         ρ = 2G / c²

Με τον τρόπο αυτό αποκλείεται η συγκέντρωση όλης της ενέργειας σε μορφή μιας μάζας, αλλά σε περίπου 10²¹ χώρους V_m, που βρίσκονται εξ αιτίας του δυναμικού τους σε εναλλασσόμενη τάση.

3. Αγωγιμότητα σ, ειδική αντίσταση c_R

Για ειδική αντίσταση c_R (τραχύτητα στα ρευστά) αγωγού μήκους s και διατομής Α,

R = c_R s/ A = U/I,  c_R = 1/σ = UA/Is = Au² /ρΑus = u/ρs

Για πτώση πίεσης εξαιτίας τραχύτητας αγωγού (C_A από ταμπέλες)

ΔP = C_A s = ρ U_R = ρ R I = ρ c_R s I / Α = u_RI/A = F_R/A,    C_A = ρ² c_R u_R

4. Δυναμική ταχύτητα στην επιφάνεια της γης

·         Η ταχύτητα διαφυγής u_k ενός πυραύλου από την επιφάνεια της γης ισούται με την δυναμική ταχύτητα του πεδίου βαρύτητάς της επί 2^½.

Για ένταση πεδίου βαρύτητας g = 9,81 V/m και απόσταση από το κέντρο του δυναμικού πεδίου (ακτίνα γης) r = 6,35 10⁶ m, u_k = (2g r)^1/2 =11162 m/s

Η ταχύτητα περιστροφής δορυφόρων είναι ίση με τη δυναμική ταχύτητα  u του δυναμικού πεδίου, δηλ. η πρώτη ταχύτητα περιστροφής δορυφόρου ανέρχεται σε u = (g r)^1/2, που για τη γη ισούται με: 7,9 Κm/s.

·         Στην ελεύθερη πτώση π.χ από ύψος r = 100m (g = 10) η Τάση ισούται με U = g r = 1000 V. H δυναμική ταχύτητα u = U^½ = 31,6 m/s ισούται με την μεταβατική ταχύτητα (χρονικά εξαρτώμενη) u_k στο μέσο της απόστασης (r(t) = 50m), η οποία στο τέλος (r(t) =0 m) είναι αυξημένη κατά 2^½  δηλ. u_k =  u 2^½ = 44,7 m/s και η Τάση μηδενική. Η εξίσωση για κάθε ύψος 

r(t): g r(t) + u_k² /2 = 1000

r(t)	U= g r(t)	u = U½	uk
100	1000	31,6	0
66,7	667	25,8	25,8
50	500	22,4	31,6
0	0	0	44,7

Συμπεράσματα

To Δυναμικό είναι ανάλογο της έντασης του δυναμικού πεδίου, ορίζει τη δυναμική ταχύτητα και περιορίζεται από τη σχέση U_max ≤ c² / 2,           (7)

Ο ορισμός του δυναμικού πεδίου & του Δυναμικού προϋποθέτει τη σχέση (εξίσωση) της έντασης του πεδίου με την απόσταση.

Δύναμη	Ένταση πεδίου	Δυναμικό	rmax ≤ c2 /2g
ισχυρή	g ~ 1/ r7	U  ~ α r -1 + βr	2,5·10−15
ηλεκτρομαγνητική	g ~ 1/ r2	U  ~ 1/ r	Qmax/2πε c2
ασθενής	g ~ 1/ r5 έως 1/ r7	U  ~ δ(r)	10−18
βαρυτική	g ~ 1/ r2	U  ~ 1/ r	2Gmmax / c2

 **Από την εξίσωση της Αντίστασης ροής R = u / ρ.Α προκύπτει ότι, η εκτόνωση μέχρι το απόλυτο κενό είναι αδύνατη δηλ. ρ > 0, διότι αλλιώς η αντίσταση τείνει στο άπειρο.

Το έργο προϋποθέτει την μεταβολή είτε της πίεσης είτε του όγκου (συμπύκνωση είτε εκτόνωση).

Ο ηλεκτρισμός αποτελεί μέρος της μηχανικής των ρευστών.

Η δυναμική ταχύτητα μας επιτρέπει τον υπολογισμό της βέλτιστης επιφάνειας ροής σε σχέση με την απαραίτητη παροχή ενός αγωγού (χωρίς τη χρήση πινάκων – στο σημείο μέγιστης Πίεσης η δυναμική ταχύτητα είναι και η μέση ταχύτητα ροής), ενώ η επιφάνεια ροής στα ρευστά παίζει το ρόλο της απαραίτητης αντίστασης όπως και στο ηλεκτρικό κύκλωμα (π.χ. για την προσαρμογή της παροχής στις απαιτήσεις τουρμπίνας, ή της απαραίτητης καμπυλότητας στο χείλος προσβολής πτέρυγας).

H δυναμική ταχύτητα προσδιορίζει τη σταθερά ελατηρίου:

W = m U = m u² = K x², K = m/ t² = m ω²

Η αποδοχή του ορισμού του Δυναμικού συνεπάγεται και αναγκαία τροποποίηση στον ορισμό της έντασης του μαγνητικού πεδίου, διότι αυτή ορίστηκε σε σχέση με την Ένταση ροής αντί της Τάσης ροής (η οποία αντί Volt έχει μονάδα μέτρησης το Ampere). Απόδειξη αποτελεί ότι η Ένταση ροής εξαρτάται από το φορτίο Q και την επιφάνεια ροής, ενώ η τάση και το μαγνητικό πεδίο όχι. Από ένα ηλεκτρικό ρεύμα δημιουργείται επαγωγική μαγνητική Τάση η οποία πρέπει να μετριέται σε ίδιες μονάδες {V}. Γνωρίζοντας την Ισχύ τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την Τάση και την Ένταση μαγνητικής ροής.

Ο όρος διατμητική τάση τ = F/Α είναι λανθασμένος διότι αφορά πίεση (και αυτή είναι ανυσματικό μέγεθος).